Wieviel Lösungsmöglichkeiten hat ein Rubik's Cube(Zauberwürfel)? (3x3x3 Felder)

 
Schwierigkeitsgrad*
65
 
  1. A 43.252.003.274.489.856.000
  2. B 428.179.126.429
  3. C 1.742
  4. D 5.130.348
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Die Mittelsteine der Flächen sind untereinander fest verbunden. Sie können ihre Position untereinander nicht verändern. Im folgenden nehme ich an, dass diese Mittelsteine immer an der selben Stelle bleiben, also z.B. weiß oben und blau vorne, wodurch sich die Position der anderen Mittelsteine eindeutig ergibt. Im mathematischen Sinne wären alle weiteren Kombinationen, die sich nur dadurch unterscheiden, wie man den Würfel hält, identisch und somit uninteressant. Alle anderen Steine sind hingegen wesentlich interessanter. Es gibt nämlich keine zwei gleichen Steine. Und jeder Stein kann an jeder beliebigen Stelle (für die er prinzipiell geeignet ist) auftauchen und kann dabei jede Orientierung einnehmen, die seine farbigen Seiten erlauben. Im Einzelnen: Die Ecksteine. Wollte man den Würfel aus Einzelteilen zusammenbauen, so hätte man für den ersten Eckstein 8 mögliche Positionen (denn soviele Ecken gibt es nun einmal). Außerdem könnte man sich für eine von drei Orientierungen entscheiden (wenn es sich um eine obere Ecke handelt: Welche der drei Farben soll nach oben? Wenn es sich um eine untere Ecke handelt: Welche der drei Farben soll nach unten?) Somit ergeben sich 8 * 3 = 24 Möglichkeiten, den ersten Stein zu setzen. Danach gibt es für den nächsten Eckstein nurnoch 7 freie Plätze, aber immer noch drei mögliche Orientierungen. Der Stein danach hat nur noch 6 Plätze zur Auswahl und so weiter. Es ergibt sich: Möglichkeiten, die Ecken einzubauen: (8 * 3) * (7 * 3) * (6 * 3) * ... * (1 * 3) = 8! * 38 = 40320 * 6561 = 264.539.520. Die Kantensteine Die Kantensteine berechnen sich ähnlich. Es gibt 12 Steine, und jeder hat zwei mögliche Orientierungen. Somit: (12 * 2) * (11 * 2) * ... * (1 * 2) = 12! * 212 = 479001600 * 4096 = 1.961.990.553.600. Das Endprodukt An sich würde es jetzt genügen, diese beiden Werte zu multiplizieren (was ich zunächst auch annahm). Aber Robert Staatz machte hierzu folgende Anmerkungen: "Die oben angegebene Anzahl kann nur erreicht werden, wenn der Würfel auseinander genommen wird und dann 'blind' zusammengestzt wird. Die richtige Anzahl der Kombinationen ist um Faktor 12 geringer, also: (12! * 212) * (8! * 38) / 12 Begründung: 1. (Divisor 2) Es ist nicht möglich zwei Ecken zu tauschen, wenn die Kanten an der gleichen Stelle bleiben sollen. Es gibt zwar andere Algorithmen zum Sortieren in denen zwei Ecken getauscht werden können, dann lassen sich aber nicht zwei Kanten miteinander vertauschen. 2. (Divisor 2) Es ist nicht möglich eine Kante zu kippen ohne das andere Kanten in Mitleidenschaft gezogen werden. 3. (Divisor 3) Es ist auch nicht möglich das eine einzelne Ecke verdreht ist." Es ergibt sich: 264.539.520 * 1.961.990.553.600 / 12 = 43.252.003.274.489.856.000 Möglichkeiten Ausgeschrieben wären dass: Dreiundvierzig Trillionen, zweihundertzweiundfünfzig Billiarden, drei Billionen, zweihundertvierundsiebzig Milliarden, hierhundertneunundachtzig Millionen achthundertsechsundfünfzig Tausend.